给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
思路：
股票一共有两个状态：持有和不持有（卖出）。
1.确定dp数组含义：
dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态。
2.确定递推公式：
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i – 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i – 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i – 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i – 1][0]
同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i – 1][1], prices[i] + dp[i – 1][0]);
3.初始化：
dp[0][0]和dp[0][1]需要分别初始化为-price[0]和0。
4.确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i – 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
最终代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0)
return 0;
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2));
dp[0][0] -= prices[0]; // 持有
dp[0][1] = 0; // 不持有
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
}
return dp[prices.size() - 1][1];
}
};
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1：
输入：prices = [7,1,5,3,6,4] 输出：7 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。 最大总利润为 4 + 3 = 7 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。 最大总利润为 4 。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。
思路：
本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了。
推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票不是-price[i],而是要用上一次卖出的状态减去price[i]，即dp[i][1]-price[i]。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if(prices.size()==0) return 0;
vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2));
dp[0][0]-=prices[0];
dp[0][1]=0;
for(int i=1;i<prices.size();i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
}
return dp[prices.size()-1][1];
}
};
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0
思路：
- 确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 – 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
2.确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] – prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i – 1][1]
所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] – prices[i], dp[i – 1][1]);
同理可推出：
dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
3.初始化
dp[0][0]不操作本身就是0，而卖出依赖于持有的状态，所以说只有初始化刚开始的持有状态
dp[0][1]=-price[0];
dp[0][3]=-price[0];(相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次)
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
//0--不操作
//1--买入
//2--卖出
//3--第二次买入
//4--第二次卖出
if(prices.size()==0){
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(5,0));
dp[0][1]=-prices[0];
dp[0][3]=-prices[0];
for(int i=1;i<prices.size();i++){
dp[i][0]=dp[i-1][0];
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
}
return dp[prices.size()-1][4];
}
};
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
思路：
和上题差不多，总结规律就是奇数买入，偶数卖出。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
if(prices.size()==0){
return prices.size();
}
vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int> (k*2+1,0));
for(int i=1;i<k*2;i+=2){
dp[0][i]=-prices[0];
}
for(int i=1;i<prices.size();i++){
for(int j=0;j<k*2-1;j+=2){
dp[i][j+1]=max(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j]-prices[i]);
dp[i][j+2]=max(dp[i-1][j+2],dp[i-1][j+1]+prices[i]);
}
}
return dp[prices.size()-1][k*2];
}
};
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
示例 2:
输入: prices = [1] 输出: 0
思路：
具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
难点在于怎么写出对应这四个状态的递推公式。
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i – 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i – 1][3] – prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i – 1][1] – prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i – 1][0], dp[i – 1][3] – prices[i], dp[i – 1][1] – prices[i]);
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i – 1][1], dp[i – 1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i – 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i – 1][2];
最终代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
// 0--持有
// 1--保持卖出
// 2--今天卖出
// 3--冷冻期
if (prices.size() == 0) {
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0));
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1] - prices[i],
dp[i - 1][3] - prices[i]));
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
}
return max(dp[prices.size() - 1][3],
max(dp[prices.size() - 1][1], dp[prices.size() - 1][2]));
}
};
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出：8 解释：能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
示例 2：
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3 输出：6
思路：
这题在之前使用过贪心算法：贪心（三） 股票问题
但如果使用动态规划，逻辑上就会变得很简单，就是在卖出时再减去手续费fee即可。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
if(prices.size()==0){
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2,0));
//0--持有
//1--卖出
dp[0][0]=-prices[0];
for(int i=1;i<prices.size();i++){
dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
}
return dp[prices.size()-1][1];
}
};
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